Question

在平面直角坐標系xOy中，雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左頂點為A，過雙曲線E的右焦點F作與實軸垂直的直線交雙曲線E于B，C兩點，若△ABC為直角三角形，則雙曲線E的離心率為

 

．

Answer 1

分析：利用雙曲線方程算出A（c，

b2

a

）、B（c，-

b2

a

），由雙曲線的性質得△ABC為等腰直角三角形，可得A到BC的距離等于BC長的一半，由此建立關于a、b、c的等式，化簡整理為關于離心率的方程，即可解出雙曲線E的離心率．

解答：解：∵過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點F作與實軸垂直的直線交雙曲線E于B，C兩點，
∴設x=c，得

c2

a2

-

y2

b2

=1，解之得y=±

b2

a

，得A（c，

b2

a

）、B（c，-

b2

a

）
∵左頂點A（-a，0）與B、C構成直角三角形，
∴根據雙曲線的對稱性，得A到BC的距離等于BC長的一半，
可得c+a=

b2

a

，即c+a=

c2-a2

a

，化簡得c²-ac-2a²=0
兩邊都除以a²，得e²-e-2=0，解之得e=2（舍負）
即雙曲線E的離心率為2
故答案為：2

點評：本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質、直角三角形的性質等知識，屬于中檔題．