Question

（2007•武漢模擬）已知單調遞增的等比數列{a_n}中，a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂、a₄的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若bn=log2an，求數列{

1

bnbn+1

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由

a2+a3+a4=28 2(a3+2)=a2+a4

及a2•a4=

a

2 3

，可求a₂，a₄，結合a₁=2，可求q，進而可求a_n
（2）由（1）可得b_n=n．

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，考慮利用裂項求和即可

解答：解：（1）由

a2+a3+a4=28 2(a3+2)=a2+a4

及a2•a4=

a

2 3

，
解得

a2=4 a4=16

或

a2=16 a4=4

(a2＞a4不合題意，舍去）．（4分）
從而a₁=2，q=2．∴a_n=2ⁿ（6分）
（2）∵b_n=log₂2ⁿ=n．（8分）

∴ 1 bnbn+1 = 1 n(n+1) = 1 n - 1 n+1 ∴Tn= 1 b1b2 + 1 b2b3 +…+ 1 bnbn+1

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．（12分）

點評：本題主要考查 了利用登比數列基本量求解數列的通項公式，數列求和的裂項求和的應用，屬于基本方法的簡單應用．