Question

（1） f（x）為R上奇函數，當x≥0時，f（x）=x²+2x，則當x＜0時，f（x）=

 

．
（2）判斷奇偶性：f(x)=(x-1)

1+x 1-x

為

 

函數；f(x)=

1-x2

2-|2-x|

為

 

函數．

Answer 1

分析：（1）設x＜0，則-x＞0，把-x代入f（x）=x²+2x求出f（-x），根據奇函數的定義求出f（x）；
（2）分別根據分母不為零和偶次根號下被開方數大于等于零，求出兩個函數的定義域，判斷是否關于原點對稱，再由定義域對解析式化簡后，驗證f（x）與-f（-x）的關系．

解答：解：（1）設x＜0，則-x＞0，
∵當x≥0時，f（x）=x²+2x，∴f（-x）=（-x）²-2x=x²-2x，
又∵f（x）為R上奇函數，∴f（x）=-f（-x）=-x²+2x，
∴當x＜0時，f（x）=-x²+2x，

（2）由

1+x

1-x

≥0且1-x≠0解得，-1≤x＜1，
則函數f(x)=(x-1)

1+x 1-x

的定義域是[-1，1），則是非奇非偶函數；
由

1-x2≥0 2-|2-x|≠0

解得，-1≤x≤1且x≠0，
則函數f(x)=

1-x2

2-|2-x|

的定義域是[-1，0）∪（0，1]，
∴f（x）=

1-x2

x

，則f（x）=-f（-x），即此函數為奇函數．
故答案為：（1）-x²+2x； （2）非奇非偶，奇．

點評：本題考查了函數奇偶性的判斷和應用，判斷函數奇偶性先求函數的定義域并判斷是否關于原點對稱，即“定義域優先”．