Question

已知定義在R上的函數f（x）對任意實數x，y都滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞0給出以下結論：
①f（0）=1；
②f（x）為R上的奇函數；
③|f（x）|為R上的偶函數；
④f（x）為R上的增函數
⑤f（x）+1為R上的減函數；
其中正確的結論有

②④

．

Answer 1

分析：根據題設條件，令x=y=0，能夠求出f（0）；令y=-x，得f（x）+f（-x）=0，由此能夠判斷f（x）為R上的奇偶性；在R上取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，由x＞0時，f（x）＞0，能夠判斷f（x）為R上的增減性．

解答：解：∵定義在R上的函數f（x）對任意實數x，y都滿足f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=2f（0），
∴f（0）=0，故①錯誤；
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）為R上的奇函數，故②正確，③錯誤；
在R上取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵當x＞0時，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）為R上的增函數，故④正確，⑤錯誤．
故選②④．

點評：本題考查命題的真假判斷，解題時要認真審題，注意抽象函數的性質的靈活運用．