Question

若數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足等式a_n+2S_n=3．
（1）能否在數列中找到按原來順序成等差數列的任意三項，說明理由；
（2）能否從數列中依次抽取一個無限多項的等比數列，且使它的所有項和S滿足，如果這樣的數列存在，這樣的等比數列有多少個？

Answer 1

解：（1）∵a_n+2S_n=3，∴當n=1時，a₁+2a₁=3，解得a₁=1，
∵a_n+2S_n=3，∴a_n+1+2S_n+1=3，
兩式相減，得，
∴{a_n}是首項為1，公比為的等比數列，
∴，
假設存在三項按原來順序成等差數列，記為a_p，a_q，a_r（p＜q＜r），
則，即，
∴2•3^r-q=3^r-p+1，即3^r-q（2-3^q-p）=1，
∵P＜q＜r，∴r-q，r-p∈N^*，
∴3^r-q＞3，2-3^q-p＜0，
∴3^r-q（2-3^q-p）＜0，
∴假設不成立，∴不存在按原來順序成等差數列的任意三項．
（2）設抽取的等比數列首項為，公比為，項數為k，且m，n，k∈N^*，
則S（k）=＜，
∵，∴，
∴，
由①得，∴m≥3，n≥1．
由②得，
當m=3，n=1時，適合條件，這時等比數列首項為，公比為，
當m=3，n＞1時，均不合適；當m＞3，n≥1時，均不合適，
綜上所述，滿足題意的等比數列有且只有一個．
分析：（1）由a_n+2S_n=3，得，從而得到，由此利用反證法推導出不存在按原來順序成等差數列的任意三項．
（2）設抽取的等比數列首項為，公比為，項數為k，且m，n，k∈N^*，則S（k）=＜，由此能推導出滿足題意的等比數列有且只有一個．
點評：本題是對等差數列和等比數列的綜合考查，對數學思維的要求較高，是道綜合性很強的好題．解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．