Question

設f（x）為定義在R上的偶函數，當0≤x≤2時，y=

3x

2

；
當x＞2時，y=f（x）的圖象是頂點在P（3，4），且過點A（2，3）的拋物線的一部分
（1）求函數f（x）在（-∞，-2）上的解析式；
（2）在下面的直角坐標系中直接畫出函數f（x）的圖象，寫出函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）根據偶函數的性質，“當x＞2時，y=f（x）的圖象是頂點在P（3，4），且過點A（2，3）的拋物線的一部分”，那么函數f（x）在（-∞，-2）上圖象是頂點（-3，4）、過（-2，3）的拋物線的一部分，設頂點式即可求出解析式．
（2）畫出函數圖象，根據函數圖象上升趨勢的是單調增區間，下降趨勢的是單調減區間．

解答：解：（1）因為函數是偶函數，
所以“當x＞2時，y=f（x）的圖象是頂點在P（3，4），且過點A（2，3）的拋物線的一部分”，
那么函數f（x）在（-∞，-2）上圖象是頂點（-3，4）、過（-2，3）的拋物線的一部分，
設函數的解析式是f（x）=a（x-h）²+b，
則根據條件有

h=-3 b=4 a(-2-h)2+b=3

，解得：

h=-3 b=4 a=-1

，
所以函數f（x）在（-∞，-2）上的解析式為f（x）=-（x+3）²+4=-x²-6x-5．
（2）圖象如下圖所示：

所以函數f（x）的單調增區間為：（-∞，-3）和（0，3），單調減區間為：（-3，0）和（3，+∞）．

點評：本題主要考察二次函數的性質，解題關鍵是：①利用偶函數關于y軸對稱得到關于（-∞，-2）上圖象信息；②用待定系數法求函數的解析式．