Question

已知構成某系統的元件能正常工作的概率為p（0＜p＜1），且各個元件能否正常工作是相互獨立的．今有2n（n大于1）個元件可按如圖所示的兩種連接方式分別構成兩個系統甲、乙．
（1）試分別求出系統甲、乙能正常工作的概率p₁，p₂；
（2）比較p₁與p₂的大小，并從概率意義上評價兩系統的優劣．

Answer 1

解：（1）由圖知，甲系統中每個通路能正常工作的概率為pⁿ，故整個系統能正常工作的概率是p₁=1-（1-pⁿ）²=pⁿ（2-pⁿ），
乙系統每個小并聯電路能正常工作的概率是p（2-p），故整個系統能正常工作的概率是p₂=pⁿ（2-p）ⁿ．（4分）
（2）由于p₂-p₁=pⁿ[（2-p）ⁿ-（2-pⁿ）]，故比較p₁與p₂的大小可通過比較[（2-p）ⁿ-（2-pⁿ）]符號，
當n=2時，有（2-p）²-（2-p²）=2（1-p）²＞0 （0＜p＜1）．故有n=2時，（2-p）²＞2-p²，
假設n=k時，有（2-p）^k＞2-p^k，
當n=k+1時，（2-p）^k+1-（2-p^k+1）=（2-p）（2-p）^k-（2-p^k+1）=2（1-p）（2-p^k）
由于0＜p＜1，可得2（1-p）（2-p^k）＞0，故有n=k+1時，（2-p）^k+1＞（2-p^k+1），
綜上證得p₂＞p₁，
由此結論知，在所用的電子器件數目一樣的情況下，乙系統工作情況比甲系統更穩定，出現不正常工作的可能小，較可靠．
分析：（1）由題意及圖知，甲系統是先串聯再并聯，可先求出每個串聯的電路正常工作的概率再求整個系統能正常工作的概率，乙系統是先并聯再串聯，同理可求出整個系統能正常工作的概率；
（2）由（1）的結果，對兩個系統正常工作的概率進行比較即可，由于兩個系統的概率與自然數n有關，可用數學歸納法證明
點評：本題考查數學歸納法，解題的關鍵是理解數學歸納法的證明規律及其證明步驟，以及題解本題的物理背景，正確計算出兩個系統的概率，本題綜合性強，考查了依據實際問題建立數學模型的能力及推理判斷的能力，難度較高運算量較大，易因為不理解題意而導致無法下手或者理解出錯，