Question

若直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²+2x-4y+1=0的圓周，則

1

a

+

1

b

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：利用直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²+2x-4y+1=0的圓周，可得圓的圓心（-1，2）在直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）上，再利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可求出

1

a

+

1

b

的最小值．

解答：解：由題意，圓的圓心（-1，2）在直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）上
∴-2a-2b+2=0（a＞0，b＞0）
∴a+b=1
∴

1

a

+

1

b

=（a+b）（

1

a

+

1

b

）=2+

b

a

+

a

b

≥2+2

b a • a b

=4
當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

a

b

，即a=b=

1

2

時(shí)，

1

a

+

1

b

的最小值為4
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的對(duì)稱性，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．