Question

若直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圓x²+y²+2x-4y+1=0的面積，則

1

a

+

1

b

的最小值（　�。�

• A．

  1

  2

• B．

  1

  4

• C．2
• D．4

Answer 1

分析：根據題意，直線2ax-by+2=0經過已知圓的圓心，可得a+b=1，由此代換得：

1

a

+

1

b

=（a+b）（

1

a

+

1

b

）=2+（

b

a

+

a

b

），再結合基本不等式求最值，可得

1

a

+

1

b

的最小值．

解答：解：∵直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圓x²+y²+2x-4y+1=0的面積，
∴圓x²+y²+2x-4y+1=0的圓心（-1，2）在直線上，可得-2a-2b+2=0，即a+b=1
因此，

1

a

+

1

b

=（a+b）（

1

a

+

1

b

）=2+（

b

a

+

a

b

）
∵a＞0，b＞0，
∴

b

a

+

a

b

≥2

b a • a b

=2，當且僅當a=b=1時等號成立
由此可得

1

a

+

1

b

的最小值為2+2=4
故答案為：D

點評：本題給出直線平分圓面積，求與之有關的一個最小值．著重考查了利用基本不等式求最值和直線與圓位置關系等知識，屬于中檔題．