Question

（2012•杭州二模）已知各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，存在兩項(xiàng) am， an(m， n∈N*)使得

aman

=4a1，且a₇=a₆+2a₅，則

1

m

+

4

n

的最小值是（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  4

  3

• C．

  2

  3

• D．

  3

  4

Answer 1

分析：分析題目已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，可以根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式解出q的值．由存在兩項(xiàng) am， an(m， n∈N*)使得

aman

=4a1，可解得m+n=6．將所求

1

m

+

4

n

乘以

1

6

（m+n），利用基本不等式，即可得到答案．

解答：解：因?yàn)橐阎�正�?xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，
則有a₁q⁶=a₁q⁵+2a₁q⁴．
即：q²-q-2=0，解得：q=2，q=-1，又因?yàn)闀r(shí)正項(xiàng)等比數(shù)列故q=2．
∵存在兩項(xiàng) am， an(m， n∈N*)使得

aman

=4a1，即a₁×

2m-12n-1

=4a₁，∴m+n=6
則

1

m

+

4

n

=

1

6

（m+n）（

1

m

+

4

n

）=

1

6

[5+

n

m

+

4m

n

]≥

1

6

（5+2

n m × 4m n

）=

3

2

   （當(dāng)且僅當(dāng)

4m

n

=

n

m

時(shí)取等號）
∴

1

m

+

4

n

的最小值是

3

2

故選 A

點(diǎn)評：此題主要考查基本不等式的應(yīng)用問題，其中涉及到等比數(shù)列通項(xiàng)的問題，屬于綜合性試題，考查學(xué)生的靈活應(yīng)用能力，屬于中檔題目．