Question

某地區因干旱缺水，政府向市民宣傳節約用水，并進行廣泛動員，三個月后，統計部門在一個小區隨機抽取了100戶家庭，分別調查了他們在政府動員前后三個月的平均用水量（單位：噸），將所得數據分組，畫出頻率分布直方圖（如圖所示）

（1）已知該小區共有居民10000戶，在政府進行節水動員前平均每月用水量是8.96×10⁴噸，請估計該小區在政府動員后比動員前平均每月節約用水多少噸；
（2）為了解動員前后市民的節水情況．媒體計劃在上述家庭中，從政府動員前月均用水量在[12，16）范圍內的家庭中選出5戶作為采訪對象，其中在[14，16）內的抽到X戶，求X的分布列和期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）將直方圖中的每個組中值乘以每個矩形的面積相加即可求出所求；
（2）由動員前的直方圖計算得月平均用水量在[12，14）范圍內的家庭有6戶，在[14，16）內的有3戶，因此X可能取值有0，1，2，3，分別求出相應的概率，最后根據數學期望的公式解之即可．
解答：解：（1）根據直方圖估計該小區在政府動員后平均每戶居民的月均用水量為
1×0.015+3×0.03+5×0.105+7×0.2+9×0.12+11×0.03）×2=6.88（噸）
于是可估計該小區在政府動員后比動員前平均每月可節約用水8.98×10⁴-6.88×10⁴=2.08×10⁴
（2）由動員前的直方圖計算得月平均用水量在[12，14）范圍內的家庭有6戶，在[14，16）內的有3戶，因此X可能取值有0，1，2，3，
P（X=0）===；
P（X=1）===；
P（X=2）===；
P（X=3）===
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P

∴EX=1×+2×+3×=
點評：本題主要考查了頻率分布直方圖，以及離散型隨機變量的期望，同時考查了計算能力，屬于基礎題．