Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）若函數有兩個不同的零點.

（ⅰ）求實數的取值范圍；

（ⅱ）求證：.（其中為的極小值點）

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.

【解析】

1先求其導函數，轉化為，即求的最小值即可；
2結合第一問的結論得不單調，故；設有兩個根，設為，，且，可得原函數的單調性，把問題轉化為，即可求解結論．
轉化為先證明不等式，若，，，則再把原結論成立轉化為證；構造函數一步步推其成立即可．

（1）由，得，

設，；則；

由，解得，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以

因為函數在上單調遞增，所以在恒成立

所以；

所以，實數的取值范圍是：.

（2）（i）因為函數有兩個不同的零點，不單調，所以.

因此有兩個根，設為，且，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；

又，，當充分大時，取值為正，因此要使得有兩個不同的零點，則必須有，即；

又因為；

所以：，解得，所以；

因此當函數有兩個不同的零點時，實數的取值范圍是.

（ⅱ）先證明不等式，若，，則.

證明：不妨設，即證，

設，，，

只需證且；

因為，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，，從而不等式得證.

再證原命題.

由得；

所以，兩邊取對數得：；

即.

因為，

所以，

因此，要證.

只需證；

因為在上單調遞增，，所以只需證，

只需證，即證，其中；

設，，只需證；

計算得；

.

由在上單調遞增，

得，

所以；即在上單調遞減，

所以：；

即在上單調遞增，所以成立，即原命題得證.