Question

11．如圖，△ABC中，AC=2，BC=4，∠ACB=90°，D、E分別是AC、AB的中點，將△ADE沿DE折起成△PDE，使面PDE⊥面BCDE，H、F分別是邊PD和BE的中點，平面BCH與PE、PF分別交于點I、G．
（Ⅰ）求證：IH∥BC；
（Ⅱ）求二面角P-GI-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出DE∥BC，從而BC?平面BCH，由此能證明IH∥BC．
（Ⅱ）以D為原點，DE，DC，DP為x，y，z軸，建立空間右手直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-GI-C的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵D，E分別是邊AC和AB的中點，∴DE∥BC，
∵BC?平面PED，ED?平面PED，
∴BC?平面BCH，
∴IH∥BC．
解：（Ⅱ）如圖，建立空間右手直角坐標系，由題意得：
D（0，0，0），E（2，0，0），P（0，0，1），F（3，$\frac{1}{2}$，0），C（0，1，0），H（0，0，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{EP}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{EF}$=（1，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{CH}$=（0，-1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{HI}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}$=（1，0，0），
設平面PGI的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{n}=-2x+z=0}\\{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}=x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，令x=1，解得y=-2，z=2，∴$\overrightarrow{n}$=（1，-2，2），
設平面CHI的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CH}•\overrightarrow{m}=-b+\frac{1}{2}c=0}\\{\overrightarrow{HI}•\overrightarrow{m}=a=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，2），
設二面角P-GI-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2+4|}{3×\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{15}}{15}$．
∴二面角P-GI-C的余弦值為$\frac{2\sqrt{15}}{15}$．

點評 本題考查線線平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．