Question

已知定義在R上的函數f（x）對任意實數x．y恒有f（x）+f（y）=f（x+y）且當x＞0時，f（x）＜0，又f（1）=-

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（1）求證：f（x）為奇函數；
（2）求證：f（x）在R上為減函數；
（3）求：f（x）在[-3，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）分別取x=y=0，和y=-x可得f（0）=0，進而可得f（-x）=-f（x），可判f（x）為奇函數；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），結合已知可判f（x₂）-f（x₁）＜0，可得單調性；
（3）由已知式子可得f（4）=4f（1），進而可得f（-3）=-f（4）+f（1），結合（2）單調性可得．

解答：解：（1）由題意結合x，y的任意性，
取x=y=0，可得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0，
取y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）
故f（x）為奇函數；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，f（x₂）＜f（x₁），
故函數f（x）在R上為減函數；
（3）∴f（x）+f（y）=f（x+y），
∴f（4）=f（2）+f（2）=2f（2）
=2f（1+1）=2[f（1）+f（1）]=4f（1）=-

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，
進而可得f（-3）=f（-4+1）=f（-4）+f（1）
=-f（4）+f（1）=

8

3

-

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=2
由（2）知函數在[-3，4]上單調遞減，
故函數的最大值為f（-3）=2
函數的最小值為f（4）=-

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3

點評：本題考查抽象函數的單調性和奇偶性的判斷，賦值是解決問題的關鍵，屬基礎題．