Question

（2007•閔行區一模）已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的圖象與x軸有兩個不同的公共點，且有f（c）=0，當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0．
（1）（文）當a=1，c=

1

2

時，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）（理）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函數的圖象與坐標軸的三個交點為頂點的三角形的面積為8，求a的取值范圍；
（4）若f（0）=1，且f（x）≤m²-2km+1，對所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1，c=

1

2

時，f(x)=x2+bx+

1

2

，f（x）的圖象與x軸有兩個不同交點，利用根與系數的關系求出函數的兩個零點，結合圖象即可得出 f（x）＜0的解；（2）f（x）的圖象與x軸有兩個交點，由題意得出函數f（x）的零點，結合圖解法求得f（x）＜0的解即可；
（3）由于f（x）的圖象與x軸有兩個交點，結合圖象表示出三交點為頂點的三角形的面積表達式，從而得到a關于c的表達式，最后利用基本不等式求a的取值范圍；
（4）要使f（x）≤m²-2km+1，對所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，必須f（x）_max=1≤m²-2km+1成立，令g（k）=-2km+m²，下面問題轉化為恒成立問題解決，利用二次函數的圖象與性質解得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）文：當a=1，c=

1

2

時，f(x)=x2+bx+

1

2

，f（x）的圖象與x軸有兩個不同交點，
∵f(

1

2

)=0，設另一個根為x₂，則

1

2

x2=

1

2

，∴x₂=1，（2分）
則 f（x）＜0的解為  

1

2

＜x＜1．（4分）
（2）理：f（x）的圖象與x軸有兩個交點，∵f（c）=0，
設另一個根為x₂，則cx2=

c

a

∴x2=

1

a

（2分）
又當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0，則

1

a

＞c，則f（x）＜0的解為c＜x＜

1

a

（4分）
（3）f（x）的圖象與x軸有兩個交點，∵f（c）=0，
設另一個根為x₂，則cx2=

c

a

∴x2=

1

a

又當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0，則

1

a

＞c，則三交點為(c，0)，(

1

a

，0)，(0，c)（6分）
這三交點為頂點的三角形的面積為S=

1

2

(

1

a

-c)c=8，（7分）
∴a=

c

16+c2

≤

c

2 16 c

=

1

8

故a∈(0，  

1

8

]．（10分）
（4）當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0，則

1

a

＞c，
∴f（x）在[0，c]上是單調遞減的，且在x=0處取到最大值1，（12分）
要使f（x）≤m²-2km+1，對所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，必須f（x）_max=1≤m²-2km+1成立，（14分）
必m²-2km≥0，令g（k）=-2km+m²，
對所有k∈[-1，1]，g（k）≥0恒成立，只要

g(1)≥0 g(-1)≥0

，即

m2-2m≥0 m2+2m≥0

（16分）
解得實數m的取值范圍為  m≤-2或m=0或m≥2．（18分）
或者按m＜0，m=0，m＞0分類討論，每一類討論正確得（2分），結論（2分）．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、一元二次不等式與一元二次方程、不等式的解法、函數恒成立問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．