Question

已知向量

a

=（

3

sinωx，cosωx），

b

=（ cosωx，cosωx），其中ω＞0，記函數f（x）=

a

•

b

-

1

2

已知f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω；
（2）求f（x）的單調區間；對稱軸方程；對稱中心坐標；
（3）當0＜x≤

π

3

時，試求f（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=

a

•

b

-

1

2

轉化為sin（2ωx+

π

6

），利用周期公式求得ω；
（2）根據正弦函數的單調性、對稱軸方程和對稱中心回答即可；
（3）由（1）得f（x）=sin（2x+

π

6

），由0＜x≤

π

3

得出

π

6

＜2x+

π

6

≤

5π

6

，再利用整體思想求解．

解答：解：（1）f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1

2

（1+cos2ωx）-

1

2

=sin（2ωx+

π

6

）
∵ω＞0，T=π
∴ω=1
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

∴f（x）單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

∴f（x）單調遞減區間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈z即為函數的對稱軸方程；
令2x+

π

6

=kπ，解得x=

kπ

2

-

π

12

，對稱中心的坐標是（

kπ

2

-

π

12

，0），k∈Z
（3）由（1），得f（x）=sin（2x+

π

6

）
∴0＜x≤

π

3

，∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

5π

6

∴f（x）∈[

1

2

，1]
∴f（x）_max=1  f（x）_min=

1

2

點評：本題主要考查用向量運算將函數轉化為一個角的一種三角函數，進一步研究三角函數的周期性、單調性、最值等．