Question

如圖1所示，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，BC=3．過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD與直線l、圓O分別交于點D、E．
（1）求∠DAC的大小及線段AE的長；
（2）如圖2所示，將△ACD沿AC折起，點D折至點P處，且使得△ACP所在平面與圓O所在平面垂直，連接BP，求二面角P-AB-C大小的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，則OC∥AD，根據Rt△AEB≌Rt△BCA，即可求出AE的值；
（2）過P作PH⊥AC于H，過H作HF⊥AB于F，連接PF，則PF⊥AB，故∠PFH為二面角P-AB-C的平面角，在Rt△APC中，求出PH，根據勾股定理求出AH，在Rt△AFH中，求出∠PFH的余弦值．
解答：解：（1）連接OC，則OC∥AD，CB=OB=OC，
∴∠COB=∠EAO=60°，∠CAO=30°，
∴Rt△AEB≌Rt△BCA，
∴CB=AE=3．（5分）
（2）過P作PH⊥AC于H，由于平面PAC⊥平面⊙O，則PH⊥平面⊙O．
過H作HF⊥AB于F，連接PF，則PF⊥AB，故∠PFH為二面角P-AB-C的平面角．（8分）
在Rt△APC中，PH=AP•sin30°=AC•cos30°•sin30°=，
AP²=AH•AC得AH=，
在Rt△AFH中，FH=AHsin30°=，
故tan∠PFH=．（12分）
點評：本題主要考查了與二面角有關的立體幾何綜合題，考查對基礎知識的綜合應用能力和基本定理的掌握能力．