Question

【題目】已知函數，（且），.

（1）若函數在上的最大值為1，求的值；

（2）若存在使得關于的不等式成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】

（1）利用導數結合定義域討論出函數的單調區間，根據單調區間求出函數的最小值，從而解出的范圍；

（2）關于的不等式存在成立，等價于不等式在有解，令，對函數求導，求出函數在上的單調區間，從而求出的最小值，即可求出的取值范圍。

（1）因為，令，，，

當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

所以在區間上的最大值為，令，解得.

當，，

當時，在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，

所以最大值1可能在或處取得，

而，

所以，解得.

當時，在區間上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，

所以最大值1可能在或處取得，

而，

所以，

解得，與矛盾.

當時，在區間上單調遞增，在單調遞減，

所以最大值1可能在處取得，而，矛盾.

綜上所述，或.

（2）關于的不等式存在成立，

等價于不等式在有解，

設，，，

當即時，遞增，當，即時，遞減，

又，，∵，∴.