Question

【題目】已知函數.

（1）設 ，若函數恰有一個零點，求實數的取值范圍；

（2）設 ，對任意，有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)或.(2).

【解析】分析：（1）先求出，再求出，再利用導數分析函數的單調性和零點,得到a的取值范圍.(2)先把命題轉化為，再利用導數求函數的最大值和最小值代入可得實數的取值范圍.

詳解：（1）函數的定義域為，∴.

①當時，，所以在上單調遞增，

取，則，

（或：因為且時，所以 .）因為，所以，此時函數有一個零點.

②當時，令，解得.當時，，

所以在上單調遞減；

當時，，所以在上單調遞增.

要使函數有一個零點，則，即，.

綜上所述，若函數恰有一個零點，則或.

（2）因為對任意，有成立，

因為 ，所以.

所以，所以.

當時，，當時，，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，，

∵與，所以.

設 ，

則，

所以在上單調遞增，故，

所以.從而.

所以即,

設，則.當時，，

所以在上單調遞增.又，

所以，即，解得.因為，

所以的取值范圍為.