Question

（本小題滿分16分）

設函數（其中常數>0，且≠1）．

（Ⅰ）當時，解關于的方程（其中常數）；

（Ⅱ）若函數在上的最小值是一個與無關的常數，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）x＝lg．

（2）當a≥時，f(x)在(－∞，2]上的最小值與a無關

【解析】解 （Ⅰ）f(x)＝

① 當x＜0時，f(x)＝＞3．因為m＞2．則當2＜m≤3時，方程f(x)＝m無解；

當m＞3，由10^x＝，得x＝lg．                           …………………… 1分

② 當x≥0時，10^x≥1．由f(x)＝m得10^x＋＝m，∴(10^x)²－m10^x＋2＝0．

因為m＞2，判別式＝m²－8＞0，解得10^x＝． …………………… 3分

因為m＞2，所以＞＞1．所以由10^x＝，解得x＝lg．

令＝1，得m＝3．                              …………………… 4分

所以當m＞3時，＝＜＝1，

當2＜m≤3時，＝＞＝1，解得x＝lg ．…………… 5分

綜上，當m＞3時，方程f(x)＝m有兩解x＝lg 和x＝lg ；

當2＜m≤3時，方程f(x)＝m有兩解x＝lg ．…………………… 6分

(2) （Ⅰ）若0＜a＜1，當x＜0時，0＜f(x)＝＜3；當0≤x≤2時，f(x)＝a^x＋．… 7分

令t＝a^x，則t∈[a²，1]，g(t)＝t＋在[a²，1]上單調遞減，所以當t＝1，即x＝0時f(x)取得最小值為3．

當t＝a²時，f(x)取得最大值為．此時f(x)在(－∞，2]上的值域是(0，]，沒有最小值．…………………………… 9分

（Ⅱ）若a＞1，當x＜0時，f(x)＝＞3；當0≤x≤2時f(x)＝a^x＋．

令t＝a^x，g(t)＝t＋，則t∈[1，a²]．

① 若a²≤，g(t)＝t＋在[1，a²]上單調遞減，所以當t＝a²即x＝2時f(x)取最小值a²＋，最小值與a有關；…………………………… 11分

② a²≥，g(t)＝t＋在[1，]上單調遞減，在[，a²]上單調遞增，…………13分

所以當t＝即x＝log_a時f(x)取最小值2，最小值與a無關．……………… 15分

綜上所述，當a≥時，f(x)在(－∞，2]上的最小值與a無關．……………………… 16分