Question

(本小題滿分16分)

已知,

且.

(Ⅰ)當時,求在處的切線方程；

(Ⅱ)當時,設所對應的自變量取值區間的長度為(閉區間

 的長度定義為),試求的最大值；

(Ⅲ)是否存在這樣的，使得當時,?若存在,求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 所求切線方程為,

(Ⅱ) 當時,取得最大值為

(Ⅲ) 滿足題意的存在,且的取值范圍是

【解析】解: (Ⅰ)當時,.

因為當時,,,

且,

所以當時,,且…………………………(3分)

由于,所以,又,

故所求切線方程為,

即………………………………………………………(5分)

 (Ⅱ) 因為,所以,則  

當時,因為,,

所以由,解得,

從而當時, …………………………………(6分)

當時,因為,,

所以由,解得,

從而當時, ……………………………(7分)

③當時,因為,

從而 一定不成立………………………………………………………(8分)

綜上得,當且僅當時,,

故 …………………………………(9分)

從而當時,取得最大值為………………………………………(10分)

(Ⅲ)“當時,”等價于“對恒成立”,

即“(*)對恒成立” ……………………(11分)

當時,,則當時,,則(*)可化為

,即,而當時,,

所以,從而適合題意……………………………………………………(12分)

當時,.

當時,(*)可化為,即,而,

所以,此時要求……………………………………………(13分)

   當時,(*)可化為,

所以,此時只要求……………………………………………(14分)

(3)當時,(*)可化為,即,而,

所以,此時要求……………………………………………(15分)

由⑴⑵⑶,得符合題意要求.

 綜合①②知,滿足題意的存在,且的取值范圍是……………………(16分)