Question

函數f(x)=

1

3

x3+

m+2

2

x2+2mx+1既有極大值又有極小值，求實數m的取值范圍．若f（x）的極大值為1，求m的值．

Answer 1

分析：令f′（x）=0既有極大值又有極小值所以得到兩個解，然后把這兩個值代入到f（x），得f(-2)=

7

3

-2m=1和
f(-m)=

1

6

(m3-6m2)+1=1，求出m的值．利用導數研究函數的增減性判斷m的值滿足題意與否來確定m的值即可．

解答：解：f′（x）=x²+（m+2）x+2m=（x+2）（x+m），
∵f（x）既有極大值又有極小值，
∴f′（x）=（x+2）（x+m）=0有兩個不等實根-2和-m，
∴m≠2（m∈R）；
若f(-2)=

7

3

-2m=1，則m=

2

3

，
當x＜-2時，f'（x）＞0，當-2＜x＜-

2

3

時，f'（x）＜0，f（x）在x=-2處取的極大值，所以m=

2

3

合題意．
f(-m)=

1

6

(m3-6m2)+1=1當m=0時，f′（x）=x（x+2）在區間（-2，0）上小于0，在區間（0，+∞）上大于0，f（x）在x=0上取得極小值，不合題意．
當m=6時，f′（x）=（x+2）（x+6）=0在區間（-∞，-6）上大于0，在區間（-6，-2）上小于0，在x=-m=-6處取得極大值，合題意．總之m=

2

3

或m=6．

點評：本題考查了導數的應用及分類討論思想．（1）閉區間上函數f（x）的最大值、最小值，只能在極值點或端點處取得，具體解決辦法是先由導數確定閉區間內的極值點，然后求出各極值點、端點處函數值，這些值中的最大值就是f（x）的最大值，最小值就是f（x）的最小值．但是要特別注意，所求極值點，在所考查的閉區間內才有效．