Question

已知f（x）是定義在R上且以2為周期的偶函數，當0≤x≤1，f（x）=x²．如果函數g（x）=f（x）-（x+m）有兩個零點，則實數m的值為（　　）

• A．2k（k∈Z）
• B．2k或2k+

  1

  4

  （k∈Z）
• C．0
• D．2k或2k-

  1

  4

  （k∈Z）

Answer 1

分析：利用函數是周期為2的偶函數，作出函數y=f（x）的圖象，利用直線y=x+m與曲線y=f（x）恰有兩個公共點，利用數形結合的思想求m的值．

解答：解：由g（x）=f（x）-（x+m）=0得f（x）=（x+m）．設y=f（x），y=x+m．
因為f（x）是定義在R上且周期為2的偶函數，所以當-1≤x≤1時，f（x）=x²．
①由圖象可知當直線y=x+m經過點O（0，0）時，直線y=x+a與y=f（x）恰有兩個公共點，此時m=0，由于函數f（x）是周期為2的函數，所以當m=2k時（k∈Z），
直線y=x+m與曲線y=f（x）恰有兩個公共點．
②由圖象可知直線y=x+m與f（x）=x²相切時，直線y=x+m與曲線y=f（x）也恰有兩個公共點．
f'（x）=2x，由f'（x）=2x=1，解得x=

1

2

，所以y=

1

4

，即切點為（

1

2

，

1

4

），
代入直線y=x+m得m=-

1

4

．
由于函數f（x）是周期為2的函數，所以當m=2k-

1

4

時（k∈Z），直線y=x+m與曲線y=f（x）恰有兩個公共點．
綜上滿足條件的實數m的值為m=2k或m=2k-

1

4

時（k∈Z）．
故選D．

點評：本題考查了兩個曲線的交點問題，要充分利用函數的周期性，利用數形結合的思想去解決，綜合性較強．