Question

已知函數的極小值大于零，其中，．

（I）求的取值范圍；

（II）若在的取值范圍內的任意，函數在區間內都是增函數，

求實數的取值范圍；

（III）設，，若，求證：．

Answer 1

解：（I）令得

函數存在極值，，                                …………（1分）

由及（I），只需考慮的情況．當變化時，的符號及的變化情況如下表：

		0
	＋	0	－	0	＋
		極大值		極小值

因此，函數在處取得極小值且

                                                            …………（3分）

要使必有可得

所以的取值范圍是                         …………（5分）

（II）由（I）知，函數在區間與內都是增函數．

由題設，函數在內是增函數，則須滿足不等式組

，或，

∵∴要使不等式關于參數恒成立，必有

解得或，所以的取值范圍是       …………（10分）

（III）用反證法證明：

假設，則，或，∵，，

∴，或

當時，∵函數在區間內是增函數，

∴，即矛盾；

當時，∵函數在區間內是增函數，

∴，即也矛盾；

故假設不成立，即成立．                            …………（14分）