Question

已知函數的極小值大于零，其中x∈R，θ∈[0，π]．
（I）求θ的取值范圍；
（II）若在θ的取值范圍內的任意θ，函數f（x）在區間（2a-1，a）內都是增函數，求實數a的取值范圍；
（III）設，，若f[f（x）]=x，求證：f（x）=x．

Answer 1

【答案】分析：（I）對函數求導得，f′（x）=12x²-6xsinθ，令，且由題意可知x₁≠x₂，依據題中的條件找出函數的極小值點為，函數的極小值大于零?
（II）由（I）知，函數f（x）增區間（-∞，0）與，函數f（x）在區間（2a-1，a）內都是增函數⇒區間
（2a-1，a）⊆（-∞，0）或（2a-1，a）⊆（，+∞），從而求a的取值范圍
（III）假設f（x）≠x則f（x）＜x或f（x）＞x，結合（II）函數在的單調性進行推理，得出矛盾
解答：解：（I）f'（x）=12x²-6xsinθ令f'（x）=0得
函數f（x）存在極值，sinθ≠0，（1分）
由θ∈[0，π]及（I），只需考慮sinθ＞0的情況．
當x變化時，f'（x）的符號及f（x）的變化情況如下表：
因此，函數f（x）在處取得極小值，且=（3分）
要使＞0，必有可得
所以θ的取值范圍是（5分）
（II）由（I）知，函數f（x）在區間（-∞，0）與內都是增函數．
由題設，函數f（x）在（2a-1，a）內是增函數，則a須滿足不等式組
，或，
∵
∴要使不等式關于參數θ恒成立，必有．
解得a≤0或，所以a的取值范圍是．（8分）
（III）用反證法證明：
假設f（x）≠x，則f（x）＜x，或f（x）＞x，
∵，，
∴，或
當時，
∵函數f（x）在區間內是增函數，
∴f[f（x）]＜f（x），即x＜f（x）矛盾；
當時，
∵函數f（x）在區間內是增函數，
∴f[f（x）]＞f（x），即x＞f（x）也矛盾；
故假設不成立，即f（x）=x成立．（12分）
點評：本題綜合考查了利用導數的知識求解函數的極值，求函數的單調區間問題，以及結合單調性及反證法綜合考查函數的綜合知識．