Question

已知函數f（x）=2asin²x+2

3

asinx•cosx+a+b，（a＞0，x∈R），當x∈[0，

π

2

]時，其最大值為6，最小值為3，
（1）求函數的最小正周期；
（2）寫出函數的單調遞減區間；
（3）求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f（x）=2asin²x+2

3

asinx•cosx+a+b，根據降冪公式（逆用二倍角公式）及輔助角公式，可將函數解析式化為正弦型函數的形式，進而根據T=

2π

ω

，求出函數的最小正周期；
（2）根據正弦函數的性質，及（1）中所得的函數的解析式，結合a＞0，可以構造一個關于x的不等式，解不等式求出滿足條件的x的取值范圍，即可得到函數的單調遞減區間；
（3）根據（2）中所得的函數的單調區間，結合x∈[0，

π

2

]，可得當X=0時，函數f（x）取最大值6，當X=

π

2

時，函數f（x）取最小值3，由此可以構造關于a，b的方程組，解方程組，即可求出求a，b的值．

解答：解：（1）∵f（x）=2asin²x+2

3

asinxcosx+a+b
=a（1-cos2x）+

3

asin2x+a+b
=2asin（2x-

π

6

）+2a+b
∴T=π
（2）∵a＞0，
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z
解得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z
∴單調減區間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）
（3）x∈[0，

π

2

]時，
2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
則有：sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
又∵當x∈[0，

π

2

]時，最大值為6，最小值為3
即a+b=3，4a+b=6，
則 a=1，b=2為所求．

點評：本題考查的知識點是三角函數的最值，三角函數的周期性及其求法，其中根據降冪公式（逆用二倍角公式）及輔助角公式，我將函數解析式化為正弦型函數的形式，是解答本題的關鍵．