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精英家教網(wǎng)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1.AB=1,AA1=2,點(diǎn)E為CC1中點(diǎn),點(diǎn)F為BD1中點(diǎn).
(1)證明EF為BD1與CC1的公垂線;
(2)求點(diǎn)D1到面BDE的距離.
分析:(1)欲證明EF為BD1與CC1的公垂線,只須證明EF分別與為BD1與CC1垂直即可,可由四邊形EFMC是矩形→EF⊥CC1.由EF⊥面DBD1→EF⊥BD1
(2)欲求點(diǎn)D1到面BDE的距離,將距離看成是三棱錐的高,利用等體積法:VE-DBD1=VD1-DBE.求解即得.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)取BD中點(diǎn)M.
連接MC,F(xiàn)M.
∵F為BD1中點(diǎn),
∴FM∥D1D且FM=
1
2
D1D.
又EC
1
2
CC1且EC⊥MC,
∴四邊形EFMC是矩形
∴EF⊥CC1.又FM⊥面DBD1
∴EF⊥面DBD1
∵BD1?面DBD1.∴EF⊥BD1
故EF為BD1與CC1的公垂線.
(Ⅱ)解:連接ED1,有VE-DBD1=VD1-DBE
由(Ⅰ)知EF⊥面DBD1
設(shè)點(diǎn)D1到面BDE的距離為d.
S△DBE•d=S△DBD1•EF
∵AA1=2,AB=1.
BD=BE=ED=
2
EF=
2
2

S△DBD1=
1
2
2
•2=
2
S△DBE=
1
2
3
2
•(
2
)2=
3
2

d=
2
×
2
2
3
2
=
2
3
3

故點(diǎn)D1到平面DBE的距離為
2
3
3
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查線面關(guān)系和四棱柱等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和推理能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E在棱AA1上,A1C∥平面EBD,截面EBD的面積為
2
2

(1)A1C與底面ABCD所成角的大小;
(2)若AC與BD的交點(diǎn)為M,點(diǎn)T在CC1上,且MT⊥BE,求MT的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0,0),B(2,0,O),D(0,2,0),A1(0,0,5),則C1的坐標(biāo)為
(2,2,5)
(2,2,5)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD邊長(zhǎng)為1,高AA1=
2
,它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,那么球的半徑是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1與它的側(cè)視圖(或稱左視圖),E是DD1上一點(diǎn),AE⊥B1C.
(1)求證AE⊥平面B1CD;
(2)求三棱錐E-ACD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2006•廣州模擬)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=1,AA1=2,點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn),點(diǎn)F為BD1的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:EF⊥BD1
(Ⅱ)求四面體D1-BDE的體積.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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