Question

【題目】已知函數

（1）在點處的切線方程為，求和的值；

（2）對任意的，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求，由導數的幾何意義可得，求出，求出，把點代入切線方程，求出圖；

（2）對任意的，恒成立，等價不等式對任意的恒成立. 令，只需.求，對分類討論，利用的單調性求解.

（1）函數的定義域為，.

在點處的切線方程為，

由導數的幾何意義可得，即.

，

把點代入切線方程，得.

.

（2）對任意的，恒成立，即對任意的恒成立，

等價于對任意的恒成立.

令，則.

當時，恒成立，在單調遞增，

恒成立，

故滿足題意.

當時，令.

當時，；當時，，

在單調遞減，在單調遞增，

.

令，

則在上恒成立，

在單調遞減，

，與對任意的恒成立矛盾，

故不合題意，舍去.

綜上，.

所以實數的取值范圍為.