Question

已知數列滿足：，，記(n∈N*)，為數列的前n項和.

（Ⅰ）證明數列為等比數列，并求其通項公式；

（Ⅱ）若對任意n∈N*且n≥2，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）令，證明：(n∈N*).

Answer 1

（Ⅰ）證明略（Ⅱ）的取值范圍是（Ⅲ）證明略

解析:

（Ⅰ）因為，由已知可得，

.

（3分）

又，則.                                              （4分）

所以數列是首項和公比都為的等比數列，故.            （5分）

（Ⅱ）因為( n≥2).       （7分）

若對任意n∈N*且n≥2，不等式恒成立，則，故的取值范圍是.（8分）

（Ⅲ）因為，則

. （10分）

當時，，即；

當時，，即；

當時，，即.                                       （12分）

所以數列的最大項是或，且，故.              （13分）