Question

【題目】設直線：（）與橢圓相交于，兩個不同的點，與軸相交于點，記為坐標原點．

（1）證明：；

（2）若，求的面積取得最大值時的橢圓方程．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）設直線的方程為，將直線的方程代入拋物線的方程，消去得到關于的一元二次方程，再結合直線與橢圓相交于兩個不同的點得到根的判別式大于，從而解決問題；（2）設，，由（1）得，由，得從而求得的面積，最后利用基本不等式求得其最大值，及取得最大值時的值，從而即可求得的面積取得最大值時的橢圓方程.

試題解析：（1）依題意，直線顯然不平行于坐標軸，故可化為，

將代入，整理得，①

由直線與橢圓相交于兩個不同的點，得，

化簡整理即得．（*）

（2），，由①，得，②

因為，，由，得，③

由②③聯立，解得，④

的面積 ，

上式取等號的條件是，即．

當時，由④解得；當時，由④解得．

將，及，這兩組值分別代入①，

均可解出，

經驗證，，滿足（*）式．

所以，的面積取得最大值時橢圓方程為．