Question

（本小題滿分12分）已知集合其中，由中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合，，其中是有序?qū)崝?shù)對，集合的元素個數(shù)分別為.若對于任意的，則稱集合具有性質(zhì).

（Ⅰ）檢驗集合與是否具有性質(zhì)，并對其中具有性質(zhì)的集合寫出相應(yīng)的集合；

（Ⅱ）對任何具有性質(zhì)的集合，證明：；

（Ⅲ）判斷的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解：（Ⅰ）集合不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，其相應(yīng)的集合是

；

（Ⅱ）證明：首先由中的元素構(gòu)成的有序?qū)崝?shù)對共有個，因為,

又因為當(dāng)，

所以當(dāng)，于是集合中的元素的個數(shù)最多為，即.

（Ⅲ）解：，證明如下：

①對于，根據(jù)定義

如果是中的不同元素，那么中至少有一個不成立，于是與中至少有一個不成立，故與也是中的不同元素.可見中的元素個數(shù)不多于中的元素個數(shù)，即；

②對于，根據(jù)定義

如果是中的不同元素，那么中至少有一個不成立，于是與中至少有一個不成立，故與也是中的不同元素.可見中的元素個數(shù)不多于中的元素個數(shù)，即.

由①②可知.