Question

已知函數f（x）是定義在R內的可導函數，且f（x）=f （2-x），（x-1）f′（x）＜0，若a=f（0），b=f（），c=f（3），則a，b，c的大小關系為

1. A.
   a＜b＜c
2. B.
   b＜a＜c
3. C.
   c＜b＜a
4. D.
   c＜a＜b

Answer 1

D
分析：由題意得對任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，得到函數的對稱軸為x=1，所以f（3）=f（-1）．由當x∈（-∞，1）時，（x-1）f′（x）＜0，得f′（x）＞0，所以函數f（x）在（-∞，1）上單調遞增．比較自變量的大小即可得到函數值的大小．
解答：由題意得：對任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，
所以函數的對稱軸為x=1，所以f（3）=f（-1）．
因為（x-1）f′（x）＜0，
所以當x∈（-∞，1）時，f′（x）＞0，
所以函數f（x）在（-∞，1）上單調遞增．
因為-1＜0＜，
所以f（-1）＜f（0）＜f（），即f（3）＜f（0）＜f（），
所以c＜a＜b．
故選D．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數的性質如奇偶性、單調性、周期性、對稱性等，函數的性質一直是各種考試考查的重點內容．