Question

已知函數y=sin⁶x+cos⁶x （x∈R），用公式a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）將其化簡，并求其周期、最小值和單調遞減區間．

Answer 1

【答案】分析：利用公式a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）將函數y=sin⁶x+cos⁶x （x∈R），化簡為y=+cos4x，從而可求其周期、最小值和單調遞減區間．
解答：解：∵y=sin⁶x+cos⁶x=（sin²x+cos²x）（sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x）
=1•（sin²x+cos²x）²-3sin²xcos²x
=1-sin²2x
=+cos4x…（6分），
∴周期T= …（7分），
 最小值為：-=…（9分）
由2kπ≤4x≤2kπ+π，（k∈Z）得：≤x≤+，（k∈Z）
∴單調遞減區間[，+]，（k∈Z）…（12分）     注：丟掉k∈Z扣1分．
點評：本題考查二倍角的余弦，三角函數的平方關系式及三角函數的周期性及其求法，突出考查余弦函數的單調性，屬于中檔題．