Question

（2012•韶關一模）已知函數f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1．
（1）求f（x）的周期和單調遞增區間；
（2）說明f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經過怎樣變化得到．

Answer 1

分析：（1）先利用降冪公式，再利用輔助角公式化簡函數，即可求得f（x）的周期和單調遞增區間；
（2）先進行周期變換，再進行平移變換，最后進行伸縮變換，即可得到結論．

解答：解：（1）f(x)=cos2x+

3

sin2x…（2分）
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)=2sin(2x+

π

6

)，…（5分）
f（x）最小正周期為π…（6分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)，
所以，函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．…（9分）
（2）將y=sinx的圖象縱坐標不變，橫坐標變為原來

1

2

倍，將所得圖象向左平移

π

12

個單位，再將所得的圖象橫坐標不變，縱坐標為原來的2倍得f（x）的圖象．…（12分）

點評：本題考查三角函數的化簡，考查函數的性質，考查圖象的變換，解題的關鍵是正確化簡函數，整體思維．