Question

過拋物線y²=4x上一點A（1，2）作拋物線的切線，分別交x軸于點B，交y軸于點D，點C（異于點A）在拋物線上，點E在線段AC上，滿足

AE

=λ₁

EC

；點F在線段BC上，滿足

BF

=λ₂

FC

，且λ₁+λ₂=1，線段CD與EF交于點P．
（1）設

DP

=λ

PC

，求λ；
（2）當點C在拋物線上移動時，求點P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設出過A點的切線方程，確定出D點，分別表示出

DP

，

PC

，根據λ₁+λ₂=1，求出λ的值．
（2）設C（x₀，y₀），P（x，y），用x₀，y₀表示出x，y，代入拋物線方程，進而確定P點的軌跡．

解答：解：（1）過點A的切線方程為y=x+1． …（1分）
切線交x軸于點B（-1，0），交y軸交于點D（0，1），則D是AB的中點．
所以

CD

=

1

2

(

CA

+

CB

)．                            （1）…（3分）
由

DP

=λ

PC

⇒

DP

+

PC

=（1+λ）

PC

⇒

CD

=(1+λ)

CP

． （2）
同理由 

AE

=λ₁

EC

，得

CA

=（1+λ₁）

CE

，（3）

BF

=λ₂

FC

，得

CB

=（1+λ₂）

CF

．     （4）
將（2）、（3）、（4）式代入（1）得

CP

=

1

2(1+λ)

[(1+λ1)

CE

+(1+λ2)

CF

]．
因為E、P、F三點共線，所以 

1+λ1

2(1+λ)

+

1+λ2

2(1+λ)

=1，
再由λ₁+λ₂=1，解之得λ=

1

2

．…（6分）
（2）由（1）得CP=2PD，D是AB的中點，所以點P為△ABC的重心．
所以，x=

1-1+x0

3

，y=

2+0+y0

3

．
解得x₀=3x，y₀=3y-2，代入y₀²=4x₀得，（3y-2）²=12x．
由于x₀≠1，故x≠

1

3

．所求軌跡方程為（3y-2）²=12x （x≠

1

3

）． …（10分）

點評：本題以拋物線為載體，考查曲線的軌跡方程的探求及綜合應用能力．