Question

在△ABC中，若sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB），試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

解：∵sinB=sin[180°-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
又∵sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB），
∴sinA+sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA+sinCcosB，
∴sinA=sinCcosB，
∴=cosB，
∵=，
∴=，
又∵cosB=，
∴=，
∴2a²=a²+c²-b²，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形．
分析：利用三角形中，sinB=sin（A+C）可求得sinB=sinAcosC+cosAsinC，與已知sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB）聯立，可求得=cosB，再利用正弦定理與余弦定理轉化為邊之間的關系，可判斷△ABC的形狀．
點評：本題考查三角形的形狀判斷，著重考查正弦定理與余弦定理，求得=cosB是轉化的關鍵，屬于中檔題．