Question

如圖,在四面體P—ABC中,已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=2,F是線段PB上一點,CF=,點E在線段AB上,且EF⊥PB.

(1)證明PB⊥平面CEF;

(2)求二面角B—CE—F的大小.

Answer 1

(1)證明:∵PA²+AC²=36+64=100=PC²,

∴△PAC是以∠PAC為直角的直角三角形.

    同理,可證△PAB是以∠PAB為直角的直角三角形,△PCB是以∠PCB為直角的直角三角形.

    故PA⊥平面ABC.

    又∵S_△PBC=|PC||BC|=×10×6=30,

    而|PB||CF|=×2×=30=S_△PBC.故CF⊥PB.又已知EF⊥PB,

∴PB⊥平面CEF.

(2)解:由(1)知PB⊥CE,PA⊥平面ABC,

∴AB是PB在平面ABC上的射影.

    故AB⊥CE.

    在平面PAB內,過點F作FF₁垂直AB且交AB于F₁點,則FF₁⊥平面ABC,

EF₁是EF在平面ABC上的射影.∴EF⊥EC.

    故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角;tan∠FEB=cot∠PBA=;

    故二面角B—CE—F的大小為arctan.