【題目】已知函數(shù)
.
（1）討論函數(shù)f（x）的極值點的個數(shù)；
（2）若f（x）有兩個極值點
，
，證明：
.
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
（1）求得函數(shù)的導數(shù)
，
，按
、
、
三種情況分類討論，得出函數(shù)的單調性，進而得出函數(shù)的極值；
（2）由（1）知，當
時，
極值點
，
是方程
的兩根，化簡得
，設
，
，利用導數(shù)求得函數(shù)
的單調性與最值，即可求解.
（1）由題意，函數(shù)
，
得
，，
（i）若時；
，
當
時，
，函數(shù)單調遞減；
當
時，
，函數(shù)單調遞增，
所以當
，函數(shù)取得極小值，是的一個極小值點；
（ii）若
時，則
，即時，此時
，在
是減函數(shù)，
無極值點，
當時，則
，令
，解得
，
，
當
和
時，
，當
時，
，
∴在取得極小值，在取得極大值，所以有兩個極值點，
綜上可知：（i）時，僅有一個極值點；(ii).當時，無極值點；
(iii)當，有兩個極值點.
（2）由（1）知，當且僅當時，有極小值點和極大值點，
且，是方程的兩根，∴
,
，
則
，
設，，則
，
∴
時，是減函數(shù)，
，
∴
，
∴
.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分）一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字
，
，
，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同。隨機有放回地抽取次，每次抽取張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為
，
，
.
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足
”的概率；
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的數(shù)字，，不完全相同”的概率.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100 m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是( )
A. 50 mB. 100 m
C. 120 mD. 150 m
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在線段PPD//平面MAC，PA=PD=
，AB=4．
（I）求證：M為PB的中點；
（II）求二面角B-PD-A的大小；
（III）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正方形
中，點E，F分別為邊
，
的中點，將
、
分別沿
、
所在的直線進行翻折，在翻折的過程中，下列說法錯誤是（ ）
A.存在某個位置，使得直線
與直線
所成的角為
B.存在某個位置，使得直線與直線所成的角為
C.A、C兩點都不可能重合
D.存在某個位置，使得直線
垂直于直線
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了了解我市特色學校的發(fā)展狀況，某調查機構得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
特色學校 | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
（Ⅰ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算
與
的相關系數(shù)
，并說明與的線性相關性強弱（已知：
，則認為與線性相關性很強；
，則認為與線性相關性一般；
，則認為與線性相關性較弱）；
（Ⅱ）求關于的線性回歸方程，并預測我市2019年特色學校的個數(shù)（精確到個）．
參考公式： 
，
，
，
，
，
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
與斜率為
且過拋物線焦點
的直線
交于
、
兩點，滿足弦長
.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）已知
為拋物線上任意一點，
為拋物線內一點，求
的最小值，以及此時點的坐標.
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