Question

【題目】當(dāng)前，以“立德樹人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進(jìn).高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測試，是激發(fā)學(xué)生、家長和學(xué)校積極開展體育活動(dòng)，保證學(xué)生健康成長的有效措施.程度2019年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測試，三項(xiàng)考試滿分50分，其中立定跳遠(yuǎn)15分，擲實(shí)心球15分，1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上期開始時(shí)要掌握全年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測試，得到下邊頻率分布直方圖，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表：

每分鐘跳繩個(gè)數(shù)
得分	17	18	19	20

（Ⅰ）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；；

（Ⅱ）若該校初三年級(jí)所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差，已知樣本方差（各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）.根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步，假設(shè)今年正式測試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：

預(yù)計(jì)全年級(jí)恰有2000名學(xué)生，正式測試每分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)；（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）

若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測試時(shí)每分鐘跳195以上的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量的分布列和期望.

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.

Answer 1

【答案】（I）；（II） ;詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)古典概率概率公式求解即可得到結(jié)果；（Ⅱ）先根據(jù)頻率分布直方圖得到平均數(shù)個(gè)，結(jié)合題意得到正式測試時(shí)根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得，由此可預(yù)計(jì)所求人數(shù)；由題意得，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率可得當(dāng)分別取時(shí)的概率，然后可得分布列及期望．

（Ⅰ）設(shè)“兩人得分之和不大于35分”為事件A，則事件A包括兩種情況：①兩人得分均為17分；②兩人中1人得17分，1人得18分．

由古典概型概率公式可得，

所以兩人得分之和不大于35分的概率為．

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可得樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

（個(gè)），

又由，

所以正式測試時(shí)，

∴．

由正態(tài)曲線的對稱性可得

∴（人），

所以可預(yù)計(jì)全年級(jí)恰有2000名學(xué)生，正式測試每分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)為1683人．

由正態(tài)分布模型，全年級(jí)所有學(xué)生中任取1人，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)195以上的概率為0.5，

所以

∴

．

∴ 的分布列為

	0	1	2	3

∴．