Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）．
（1）寫出a₂、a₃的值（只寫結(jié)果）并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，若對任意的正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）∴a₂=6，a₃=12（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，
∴a_n-a₁=2[n+（n-1）+…+3+2]，
∴（5分）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1×（1+1）=2也滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n（n+1）（6分）
（2）==（8分）
令，則，當(dāng)x≥1時(shí)，f'（x）＞0恒成立
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，故當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=f（1）=3
即當(dāng)n=1時(shí)，（11分）
要使對任意的正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式恒成立，
則須使，
即t²-2mt＞0，
對?m∈[-1，1]恒成立，
∴，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞）（14分）
分析：（1）由題設(shè)知a₂=6，a₃=12，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，所以a_n-a₁=2[n+（n-1）+…+3+2]，由此可知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n（n+1）．
（2）由題設(shè)條件可推出=，令，則，當(dāng)x≥1時(shí)，f'（x）＞0恒成立，f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，故f（x）_min=f（1）=3，，
要使對任意的正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式恒成立，則須使，即t²-2mt＞0，對?m∈[-1，1]恒成立，由此可知實(shí)數(shù)t的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的靈活運(yùn)用．