Question

如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F₁，F₂在x軸上，長軸A₁A₂的長為4，左準線l與x軸的交點為M，|MA₁|：|A₁F₁|=2：1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l₁：x=m（|m|＞1），P為l₁上的動點，使∠F₁PF₂最大的點P記為Q，求點Q的坐標（用m表示）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先橢圓的標準方程，根據長軸A₁A₂的長為4求得a，根據|MA₁|：|A₁F₁|=2：1求得c，最后根據b=求得b．橢圓的方程可得．
（Ⅱ）設P（m，y），|m|＞1，依題意可知只需求tan∠F₂PF₂的最大值即可．設出直線PF₁和PF₂的斜率可表示出tan∠F₁PF₂，根據y的范圍進而確定tan∠F₁PF₂的范圍，進而可求得∠F₁PF₂最大時點Q的坐標．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為+=1（a＞b＞0），半焦距為c，則|MA₁|=-a，|A₁F₁|=a-c．
由題意，得∴a=2，b=，c=1．故橢圓方程為+=1．

（Ⅱ）設P（m，y），|m|＞1，
當y=0時，∠F₁PF₂=0；
當y≠0時，0＜∠F₁PF₂＜PF₁M＜，
∴只需求tan∠F₂PF₂的最大值即可．
設直線PF₁的斜率k₁=，直線PF₂的斜率k₂=，
∴tan∠F₁PF₂=||=≤=
當且僅當=|y|時，∠F₁PF₂最大，∴Q（m，±）|m|＞1．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線的關系．圓錐曲線問題的綜合考查是歷年來高考的熱點問題，應作為重點來復習．