Question

已知函數(shù)g（x）=（a-2）x（x＞-1），函數(shù)f（x）=ln（1+x）+bx的圖象如圖所示．
（I）求b的值；
（II）求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由圖象可知x=-0.5時導(dǎo)函數(shù)的值為0，所以把x=0.5代入導(dǎo)函數(shù)令其等于0即可求出b的值；
（II）把（I）中求出的b代入f（x）中，確定出f（x）的解析式，然后把f（x）和g（x）的解析式代入到F（x）=f（x）-g（x）中得到F（x）的解析式，求出F（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域可知x+1大于0，推出ax小于1-a，然后分a大于0，a小于0和a等于0三種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（I），
由圖知f'（-0.5）=0⇒b=-2；
（II）F（x）=f（x）-g（x）=ln（1+x）-2x-（a-2）x=ln（1+x）-ax，得到，
令F'（x）=-a＞0⇒因為x+1＞0⇒ax＜1-a
當(dāng)a＞0時，F(xiàn)'（x）＞0⇒-1＜x＜，故函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，-1），單調(diào)減區(qū)間；
當(dāng)a＜0時，F(xiàn)'（x）＞0⇒x＞-1，故函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，+∞）；
當(dāng)a=0時，F(xiàn)'（x）＞0⇒x＞-1，故函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，+∞），
綜上所述：
當(dāng)a＞0時，函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．
當(dāng)a≤0時，函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，+∞）．
點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，會根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，靈活運用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決實際問題，是一道綜合題．