Question

（2012•孝感模擬）已知f（x）=（2

3

cos

x

2

+2sin

x

2

）cos

x

2

．
（I）求f（

17π

12

）的值；
（II）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若f（c）=

3

+1，且b²=ac，求sinA的值．

Answer 1

分析：（I）利用多項式乘以單項式的法則將函數解析式化簡，再利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，然后利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的余弦函數，將x=

17π

12

代入化簡后的式子中計算，即可得到所求的函數值；
（II）由第一問求出的函數解析式及f（C）=

3

+1，求出cos（C-

π

6

）的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出C為直角，得到三角形ABC為直角三角形，利用勾股定理得到c²=a²+b²，再將b²=ac代入，整理后得到關于

a

c

的芙蓉城，求出方程的解得到

a

c

的值，利用銳角三角函數定義即可求出sinA的值．

解答：解：（I）f（x）=（2

3

cos

x

2

+2sin

x

2

）cos

x

2

=2

3

cos²

x

2

+2sin

x

2

cos

x

2

=

3

（1+cosx）+sinx
=

3

cosx+sinx+

3

=2cos（x-

π

6

）+

3

，
則f（

17π

12

）=2cos（

17π

12

-

π

6

）+

3

=2cos

5π

4

+

3

=

3

-

2

；
（II）∵f（C）=

3

+1，
∴2cos（C-

π

6

）+

3

=

3

+1，即cos（C-

π

6

）=

1

2

，
又C為三角形的內角，
∴C=

π

2

，又b²=ac，
在Rt△ABC中，根據勾股定理得：c²=a²+b²=a²+ac，
∴（

a

c

）²+

a

c

-1=0，
解得：

a

c

=

-1± 5

2

，
∵0＜sinA＜1，
∴sinA=

a

c

=

5 -1

2

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的余弦函數公式，勾股定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．