Question

如圖，設(shè)拋物線方程為x²=2py（p＞0），M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B。

（1）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（2）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2p）時(shí)，|AB|=，求此時(shí)拋物線的方程；
（3）是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D在拋物線x²=2py（p＞0）上，其中，點(diǎn)C滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）由題意設(shè)
由得，則
所以
因此直線MA的方程為　　　　　　　　
直線MB的方程為
所以 ①
②
由①、②得　　
因此，即
所以A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列。
（2）解：由（1）知，當(dāng)x₀=2時(shí)，將其代入①、②并整理得：
 ，
所以，x₁、x₂是方程的兩根，
因此
又
所以
由弦長(zhǎng)公式得
又，
所以p=1或p=2，
因此所求拋物線方程為或。
（3）解：設(shè)D（x₃，y₃），由題意得C（x₁+ x₂，y₁+ y₂），
則CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為 　
設(shè)直線AB的方程為 　
由點(diǎn)Q在直線AB上，并注意到點(diǎn)也在直線AB上，
代入得 　
若D（x₃，y₃）在拋物線上，則
因此，x₃=0或x₃=2x₀
即D（0，0）或
（i）當(dāng)x₀=0時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)M（0，-2p）適合題意；
（ii）當(dāng)，對(duì)于D（0，0），此時(shí)
又，AB⊥CD，
所以
即矛盾
對(duì)于，因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111123/201111230942558901107.gif">此時(shí)直線CD平行于y軸，
又
所以，直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，
所以時(shí)，不存在符合題意的M點(diǎn)
綜上所述，僅存在一點(diǎn)M（0，-2p）適合題意。