Question

【題目】設(shè)是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)的軌跡為橢圓，則求的取值范圍；

（2）設(shè)時(shí)對(duì)應(yīng)的橢圓為，為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與交于、兩點(diǎn)，若，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由已知可得點(diǎn)在的垂直平分線上，有，進(jìn)而，根據(jù)點(diǎn)的軌跡為橢圓，由橢圓定義可得，即在圓外，得出不等量關(guān)系，結(jié)合關(guān)系，即可求解；

（2）根據(jù)（1）求出橢圓方程，設(shè)出直線，以及，，根據(jù)直線與橢圓相交關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理，求出的值，轉(zhuǎn)坐標(biāo)關(guān)系，可得出直線過定點(diǎn)，得到，再利用韋達(dá)定理，求出關(guān)于的目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合的范圍，利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，即可求解.

解：（1）若的軌跡為橢圓，則必在圓內(nèi)，

此時(shí)的垂直平分線交線段于點(diǎn)，

，

∴，

∵在直線上，∴，

∴，則．

（2）當(dāng)時(shí)，為，此時(shí)，

∴的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，，

∴橢圓的方程為．

∵為右頂點(diǎn)，∴為，設(shè)，，

，∵，∴，

即，①

∵，在直線上，

∴①式變?yōu)?/span>，②

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，

得，

∴，，

代入②式得，∴或，

當(dāng)時(shí)，、或、重合，

與、為非零向量矛盾，舍去．

∴，直線為，過定點(diǎn)，

此時(shí)

令，則，

∵，∴，

即時(shí)，有最大值，最大值為．