Question

（本小題滿分12分）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)在圓上，，交于點(diǎn)，平面，，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）.

【解析】(I)本題主要思路還是通過證明線面垂直來(lái)證明線線垂直，本小題可以證明：平面,需證：和.

(II)本題可通過傳統(tǒng)方法找到二面角的平面角，也可利用向量法求二面角.延長(zhǎng)交于，連，過作，連結(jié)．可以證明為平面與平面所成的二面角的平面角.然后解三角形即可求角.

（法一）（Ⅰ）平面平面， ．………………………………………………1分

又，

平面

而平面

．  ………………………………………………3分

是圓的直徑，．

又，

．

平面，，

平面．

與都是等腰直角三角形．

．

，即（也可由勾股定理證得）．………………5分

，     平面．

而平面，

．  …………………………………………6分

（Ⅱ）延長(zhǎng)交于，連，過作，連結(jié)．

由（1）知平面，平面，

．

而，平面．

平面，

，

為平面與平面所成的

二面角的平面角．     ……………………8分

在中，，，

．

由，得．

．

又，

，則．    ………………11分

是等腰直角三角形，．

平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．　 ………………12分