Question

Q是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，F₁、F₂為左、右焦點，過F₁作∠F₁QF₂外角平分線的垂線交F₂Q的延長線于P點，當Q點在橢圓上運動時，P點的軌跡是（　　）

• A、直線
• B、圓
• C、橢圓
• D、雙曲線

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據等腰三角形“三線合一”，得到|QP|=|F₁Q|，可得|QF₁|+|QF₂|=|QP|+|QF₂|=|PF₂|，結合橢圓的定義可得|PF₂|=2a，即動點P到點F₂的距離為定值2a，由此即可得到動點P的軌跡對應的圖形．

解答： 解：設從F₁引∠F₁QF₂的外角平分線的垂線，垂足為R
∵△PF₁Q中，RQ是∠F₁QF₂的平分線
∴|QP|=|F₁Q|，可得|QF₁|+|QF₂|=|QP|+|QF₂|=|PF₂|
根據橢圓的定義，可得|QF₁|+|QF₂|=2a，
∴|PF₂|=2a，即動點P到點F₂的距離為定值2a，
因此，點P的軌跡是以點F₂為圓心，半徑為2a的圓．
故選B．

點評：本題給出橢圓上動點Q，求點P的軌跡方程，著重考查了橢圓的定義和簡單幾何性質，以及等腰三角形“三線合一”等知識，屬于中檔題．