Question

數(shù)列{a_n}，{b_n}分別滿足（n∈N^*），a₁=1
（1）求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為K_n，求證：當(dāng)n≥3時(shí)，．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)，兩邊取倒數(shù)等號也成立，進(jìn)而可得，進(jìn)而推斷數(shù)列為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公比為2，進(jìn)而求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法，求得S_n
（3）由（1）中的a_n可得K_n，又根據(jù)，代入K_n，即可證明原式．
解答：解：（1）證明：∵
∴
∵數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以可得
（2）由（1）可知，
所以S_n=1•2¹+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減化簡可得，S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹
（3）n≥3，，
可得n≥3，，此時(shí)
點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．