Question

已知y=f（x）是定義在R上的奇函數，且y=f(x+

π

2

)為偶函數，對于函數y=f（x）有下列幾種描述，其中描述正確的是（　　）
①y=f（x）是周期函數；②x=π是它的一條對稱軸
③（-π，0）是它圖象的一個對稱中心；④當x=

π

2

時，它一定取最大值

• A、①②
• B、①③
• C、②④
• D、②③

Answer 1

分析：本題函數的性質，先對已知y=f（x）是定義在R上的奇函數，且y=f(x+

π

2

)為偶函數用定義轉化為恒等式，再由兩個恒等式進行合理變形得出與四個命題有關的結論，通過推理證得①③正確．

解答：證明：由已知可得：
f（-x）=-f（x） …（1）
f（-x-

π

2

）=-f（x+

π

2

）…（2）
f（-x+

π

2

）=f（x+

π

2

）…（3）
由（3）知 函數f（x）有對稱軸x=

π

2

由（2）（3）得 f（-x-

π

2

）=-f（-x+

π

2

）；
令z=-x+

π

2

則-x-

π

2

=z-π，
∴f（z-π）=-f（z），
故有f（z-π-π）=-f（z-π），
兩者聯立得 f（z-2π）=f（z），
可見函數f（x）是周期函數，且周期為2π；
由（1）知：f（-z）=-f（z），代入上式得：f（z-2π）=-f（-z）；
由此式可知：函數f（x）有對稱中心（-π，0）
由上證知①③是正確的命題．
故應選B．

點評：本題考查的性質以及靈活運用恒等式進行變形尋求答案的能力．