Question

商場銷售某電扇，進貨價每臺100元，當零售價定為每臺188元時，銷售量為1000臺，為促進銷售，擬采用買一臺電扇贈送顧客一件小禮品的方法．經過市場調研發現銷售量與禮品價值的關系如下：

禮品價值（元）	1	2	3	4	5
銷售量（臺）	1020	1040	1061	1082	1104

商場分析上述數據后，認為在一定范圍內，禮品價值為n+1（n∈N^*）元時比禮品價值為n元時銷售量增加的百分比大致相同．
（1）設a_n為當禮品價值為n（n∈N^*）元時，商場銷售電扇所得利潤，寫出a_n的表達式；
（2）商場應如何設計禮品的價值，以取得最大利潤？

Answer 1

分析：（1）先根據題目數據求出銷售量增加的大致百分比，然后根據等比數列模型寫出商場銷售電扇所得利潤a_n的表達式；
（2）比較數列的前一項和后一項的大小，進行作商比較，即可求出相應的n的值．

解答：解：（1）∵禮品價值為n+1（n∈N^*）元時比禮品價值為n元時銷售量增加的百分比大致相同
∴銷售量增加的百分比大致為

1040

1020

≈1.02
∴a_n=1000•1.02ⁿ（88-n）（1≤n≤88，n∈N）
（2）

an+1

an

=1.02•

87-n

88-n

，所以當n≤36時，a_n+1＞a_n；當n≥38時，a_n+1＜a_n．
所以當n=37或38時，利潤最大．
（注：本題中數據由數表中的值推測得到，由于每個人的理解不同，允許數據之間有誤差）

點評：本題主要考查了等比數列的應用，同時考查了研究數列的最值問題，屬于中檔題．